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행렬의 행벡터, 열벡터

행렬에서 행(Row)은 가로줄, 열(Column)은 세로줄을 의미한다.

행벡터(Row Vector = Row Matrix)는 하나의 행으로 이루어진 $1 \times n$ 행렬을 의미하고,

열벡터(Column Vector = Column Matrix)는 하나의 열로 이루어진 $m \times 1$ 행렬을 의미한다.

행렬의 곱셈

• 곱셈 조건: 앞 행렬($A$)의 열의 수와 뒤 행렬($B$)의 행의 수가 일치해야 곱 $AB$가 정의된다.
• 교환법칙 불성립: 일반적으로 $AB \neq BA$이다. 단, $A = pB + qE$ 또는 $B = pA + qE$ 꼴(한 행렬이 다른 행렬과 단위행렬의 선형결합으로 표현되는 경우)이면 $AB = BA$가 성립한다.
• 결합법칙: 연산 순서가 동일하면 성립한다.
  \((AB)C = A(BC)\)
• 분배법칙:
  \(A(B+C) = AB + AC, \qquad (A+B)C = AC + BC\)

2×2 케일리-해밀턴 정리

(단, $\operatorname{tr}A$는 대각합, $\det A$는 행렬식, $E$는 단위행렬, $O$는 영행렬)

대각행렬, 삼각행렬

• $A$, $B$가 둘 다 상삼각행렬이면 → $AB$도 상삼각행렬
• $A$, $B$가 둘 다 하삼각행렬이면 → $AB$도 하삼각행렬
• 대각행렬끼리는 항상 교환법칙 성립: $D_1 D_2 = D_2 D_1$

전치행렬, 대칭행렬

전치행렬(Transpose): 행렬 $A$의 행과 열을 서로 바꾼 행렬을 $A^T$라 한다.

• $(A^T)^T = A$
• $(A+B)^T = A^T + B^T $
• $(kA)^T = kA^T \quad (k\text{는 스칼라})$
• $(AB)^T = B^T A^T$ , $(ABC)^T = C^T B^T A^T $
• $\det(A^T) = \det(A)$
• $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \quad (A\text{가 가역행렬일 때})$

대칭행렬(Symmetric Matrix): $A^T = A$를 만족하는 정사각행렬.

반대칭행렬(Skew-symmetric Matrix): $A^T = -A$를 만족하는 정사각행렬.

• $A,\,B$가 대칭행렬이면 $A+B,\ A-B,\ kA$도 대칭행렬
• $A$가 대칭행렬이면 $A^n\ (n=1,2,3,\dots)$도 대칭행렬
• $A$가 가역인 대칭행렬이면 $A^{-1}$도 대칭행렬
• $A,\,B$가 대칭행렬일 때, $AB$가 대칭행렬 $\iff AB = BA$
• 임의의 정사각행렬 $A$에 대해 $A+A^T$는 대칭행렬, $A-A^T$는 반대칭행렬
• 모든 정사각행렬은 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 유일하게 분해됨: $A = \tfrac{1}{2}(A+A^T) + \tfrac{1}{2}(A-A^T)$
• 정사각행렬이 아니어도, 임의의 행렬 $A$에 대해 $A^TA,\ AA^T$는 항상 대칭행렬